E5 – Kryptologie

1. Allgemeine Einordnung

Programmierung wird im Kerncurriculum als eine Primärerfahrung mit der Informatik verstanden. Sie spielt eine zentrale Rolle für das Verständnis informatischer Grundbegriffe, weil Lernende bei der Bearbeitung konkreter Problemstellungen typische Modellierungs- und Problemlösekompetenzen entwickeln.

Kontexte wie Kryptologie ermöglichen es, informatische Konzepte problemorientiert an anschaulichen Anwendungen zu erarbeiten. Gleichzeitig können hier Programmierkenntnisse aus vorherigen Themenfeldern praktisch vertieft werden.

2. Inhalte des Themenfelds E.5 Kryptologie

• einfache kryptologische Verfahren → Kapitel 1, Kapitel 2
• symmetrische Verschlüsselungsverfahren → Kapitel 1, Kapitel 2
• Substitution und Transposition → Kapitel 1, Kapitel 2
• Bewertung der Verfahren unter dem Aspekt Sicherheit → Kapitel 1, Kapitel 2, Kapitel 3
• Modellierung und Implementierung eines Verfahrens → Kapitel 1, Kapitel 2, Kapitel 3
• asymmetrische Verschlüsselungsverfahren → Kapitel 3
• Schlüsseltausch nach Diffie-Hellman → Kapitel 3
• Grundlagen von RSA und digitaler Signatur → Kapitel 3

Quelle

Hessisches Ministerium für Kultus, Bildung und Chancen (2024): Kerncurriculum gymnasiale Oberstufe Informatik, S. 30 ff.

Symmetrische Verschlüsselungsverfahren

Ein Verschlüsselungsverfahren ist ein Algorithmus, der einen Klartext mithilfe eines Schlüssels in einen Geheimtext umwandelt. Bei symmetrischen Verschlüsselungsverfahren wird derselbe Schlüssel sowohl zum Verschlüsseln als auch zum Entschlüsseln verwendet. Sender und Empfänger müssen also denselben geheimen Schlüssel kennen.

Das Grundprinzip ist anschaulich und schnell verständlich, weil beide Seiten mit demselben geheimen Schlüssel arbeiten. Gleichzeitig entsteht daraus ein zentrales Sicherheitsproblem: Der gemeinsame Schlüssel muss vorab vertraulich ausgetauscht werden. Genau diese Herausforderung führt in Kapitel 3 zur Frage, wie Schlüsselaustausch ohne vorher geteiltes Geheimnis gelingen kann.

Die Caesar-Chiffre

Die Caesar-Chiffre ist ein klassisches Verschlüsselungsverfahren, bei dem jeder Buchstabe des Klartexts um eine feste Anzahl von Stellen im Alphabet verschoben wird – dem sogenannten Schlüssel.

Die Methode wurde nach Julius Caesar benannt, der sie zur militärischen Kommunikation verwendet haben soll. Dabei wird jeder Buchstabe des Klartexts im Geheimtext durch einen anderen Buchstaben ersetzt (substituiert), weswegen es sich bei der Caesar-Chiffre um ein Substitutionsverfahren handelt.

Fachlich wird die Caesar-Chiffre als monoalphabetische Substitution eingeordnet: Für alle Zeichen gilt dieselbe Verschiebung. Dadurch ist der Schlüsselraum mit 26 möglichen Schlüsseln sehr klein, und ein Angriff durch systematisches Ausprobieren ist leicht möglich. Außerdem bleiben typische Sprachmuster oft erkennbar. Heute ist das Verfahren deshalb vor allem historisch und didaktisch bedeutsam.

Interpretation der Formel:

• x – Position des Buchstabens im Alphabet
• k – Schlüssel bzw. Verschiebung
• mod 26 – Der Modulo-Operator gibt den Rest einer Division an. Der Ausruck 𝑎 mod 𝑛 bedeutet: Der Rest, der entsteht, wenn 𝑎 durch 𝑛 geteilt wird. Sorgt hier für den Umlauf im Alphabet, also z. B. von z zurück zu a

Transpositionsverfahren

Neben Substitutionsverfahren existieren auch sogenannte Transpositionsverfahren. Dabei werden die Zeichen eines Textes nicht ersetzt, sondern nur in ihrer Reihenfolge verändert.

Der Unterschied ist zentral: Bei der Substitution werden Zeichen ersetzt, bei der Transposition nur umgeordnet. Deshalb bleiben bei Transpositionsverfahren Buchstabenhäufigkeiten im Vergleich oft stärker erhalten als bei Substitutionsverfahren.

Die Zick-Zack-Verschlüsselung (Rail-Fence-Cipher)

Ein bekanntes Transpositionsverfahren ist die sogenannte Zick-Zack-Verschlüsselung. Dabei wird der Klartext in mehreren Zeilen im Zick-Zack-Muster geschrieben. Der Geheimtext entsteht anschließend durch das zeilenweise Ablesen der Buchstaben.

Die Rail-Fence-Cipher ist damit ein anschauliches Beispiel für reine Transposition: Sie macht den Unterschied zu Substitutionsverfahren gut sichtbar, bietet aber nur eine geringe Sicherheit.

Anders als bei der Caesar-Chiffre werden hier also keine Buchstaben verändert. Die Sicherheit entsteht allein durch die Umordnung (Transposition) der Zeichen.

Vom monoalphabetischen zum polyalphabetischen Verfahren

In Kapitel 1 wurde mit der Caesar-Chiffre ein klassisches monoalphabetisches Substitutionsverfahren eingeführt: Jedes Zeichen wird mit derselben festen Verschiebung ersetzt. Dadurch bleiben typische Häufigkeitsmuster oft erkennbar, was die Häufigkeitsanalyse als Angriffsmethode begünstigt.

Ein zentraler Entwicklungsschritt sind polyalphabetische Verfahren. Hier wird nicht mit nur einem festen Schlüsselwert gearbeitet, sondern mit einem Schlüsselstrom unterschiedlicher Werte. Das One-Time-Pad ist die konsequenteste Ausprägung dieses Prinzips: Jedes Zeichen erhält einen eigenen Schlüsselwert.

Entwicklung und Einordnung des One-Time-Pads

Die Grundidee des One-Time-Pads wurde zu Beginn des 20. Jahrhunderts entwickelt und in militärischen sowie diplomatischen Kontexten weitergeführt. Historisch wurden Schlüssel häufig als gedruckte Blöcke („Pads“) bereitgestellt, deren Seiten nach Verwendung vernichtet wurden.

Dieses historische Vorgehen knüpft an die Pad-Idee an: vorbereitete Schlüsselblöcke mit einmal nutzbaren Schlüsselwerten. Im Umfeld früher Fernschreibtechnik wurde diese Logik unter anderem in Vernam-basierten Verfahren technisch aufgegriffen.

Aus informationstheoretischer Sicht gilt das Verfahren als besonders bedeutsam: Bei korrekter Anwendung liefert der Geheimtext keine eindeutige Information über den ursprünglichen Klartext. Deshalb wird das One-Time-Pad als Referenzmodell für „informationstheoretische Sicherheit“ betrachtet.

Diese Aussage gilt jedoch nur unter strengen Bedingungen: Der Schlüssel muss wirklich zufällig sein, mindestens die Länge der Nachricht besitzen, ausschließlich einmal verwendet werden und geheim zwischen den Kommunikationspartnern verteilt werden. Bereits die Verletzung einer dieser Bedingungen schwächt das Sicherheitsniveau deutlich.

Besonders kritisch ist die Wiederverwendung von Schlüsselmaterial: Wird derselbe Schlüssel zweimal genutzt, geht der zentrale Sicherheitsvorteil des One-Time-Pads verloren.

Typische Einsatzkontexte und praktische Grenzen

Das One-Time-Pad ist vor allem für Kommunikationssituationen relevant, in denen höchste Vertraulichkeit gefordert ist und ein sicherer Schlüsselaustausch organisatorisch vorbereitet werden kann. Typische Leitidee ist daher nicht der Masseneinsatz, sondern der Schutz ausgewählter, besonders sensibler Informationen.

Die praktische Umsetzung ist jedoch anspruchsvoll: Für jede Nachricht muss frisches, echtes Zufallsmaterial in ausreichender Länge vorliegen. Der Schlüssel darf niemals wiederverwendet werden, muss vertraulich verteilt, sicher gespeichert und nach Gebrauch zuverlässig entfernt werden. Diese Bedingungen verursachen hohen organisatorischen Aufwand.

Damit wird ein zentraler Unterschied deutlich: Die theoretische Sicherheitsstärke des One-Time-Pads ist außergewöhnlich hoch, die praktische Alltagstauglichkeit ist jedoch durch Erzeugung, Verteilung und Verwaltung der Schlüssel stark begrenzt.

Hinweis: Die Darstellung mit mod 26 ist ein schulisches, alphabetisches Modell zur Veranschaulichung. Reale Systeme arbeiten oft auf Bit- oder Byte-Ebene.

Interpretation der Formel:

• x_i – Position des i-ten Klartextzeichens
• k_i – i-ter Wert im Schlüsselstrom
• mod 26 – sorgt für den Umlauf im Alphabet

Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren

1) Grundidee: zwei Schlüssel statt ein gemeinsames Geheimnis

Die Verfahren aus Kapitel 1 und 2 sind symmetrisch aufgebaut: Für Ver- und Entschlüsselung wird derselbe geheime Schlüssel benötigt. Dieses Prinzip ist fachlich klar, erzeugt aber ein praktisches Problem: Der gemeinsame Schlüssel muss vorab sicher ausgetauscht werden.

Asymmetrische Verfahren lösen genau dieses Problem mit einem Schlüsselpaar: Es besteht aus einem öffentlichen und einem privaten Schlüssel. Der öffentliche Schlüssel darf verteilt werden, der private Schlüssel bleibt geheim. So kann eine Person verschlüsselte Nachrichten empfangen, ohne vorher einen geheimen gemeinsamen Schlüssel übertragen zu müssen.

2) Einordnung: Diffie-Hellman und RSA

Das Schlüsselaustauschverfahren nach Diffie-Hellman zeigt, wie zwei Kommunikationspartner über einen unsicheren Kanal einen gemeinsamen symmetrischen Schlüssel aufbauen können. Der Schwerpunkt liegt dabei auf dem Austausch eines Schlüssels.

RSA setzt den Schwerpunkt anders: Es ist ein konkretes asymmetrisches Verfahren, das sowohl Verschlüsselung als auch digitale Signatur unterstützt. Im Folgenden wird RSA deshalb als zusammenhängender Prozess betrachtet.

RSA-Grundprinzip (schulgeeignetes Modell)

Der öffentliche Schlüssel besteht aus zwei Werten (üblich als (n, e)), der private Schlüssel enthält den dazu passenden Wert d. Der Wert n ist Teil beider Schlüssel, d bleibt geheim.

Interpretation der Formel:

• m – Nachrichtenwert (vereinfachte Codierung des Klartexts)
• c – verschlüsselter Wert (Geheimtext)
• e – Teil des öffentlichen Schlüssels
• d – Teil des privaten Schlüssels
• mod n – begrenzt die Ergebnisse auf den Zahlenraum von n (Modulo)

3) RSA als Prozess: vom Schlüssel zur Nachricht

Für ein klares Gesamtbild wird RSA als Ablauf mit festen Schritten betrachtet: Schlüssel erzeugen, Nachricht mathematisch transformieren, Nachricht rekonstruieren.

1. Primzahlen wählen: Es werden zwei Primzahlen p und q festgelegt.
2. Modul und Eulersche Funktion berechnen: \( n = p \cdot q \) und \( \varphi(n) = (p-1)(q-1) \).
3. Öffentlichen Exponenten wählen: e wird so gewählt, dass e und \( \varphi(n) \) teilerfremd sind.
4. Privaten Exponenten bestimmen: d ist die modulare Inverse zu e modulo \(\varphi(n)\), also \( e \cdot d \equiv 1 \pmod{\varphi(n)} \).
5. Verschlüsseln: \( c = m^e \bmod n \).
6. Entschlüsseln: \( m = c^d \bmod n \).

Die Darstellung übernimmt die Prozesslogik des RSA-Werkzeugs in statischer Form: klare Zustände, eindeutige Pfeile, keine Eingabefelder. So wird aus der Interaktion ein erklärbarer Fachablauf.

Mathematische Grundlage: Primfaktorzerlegung

4) Was Primfaktorzerlegung konkret bedeutet

Jede natürliche Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. Beispiel: \(221 = 13 \cdot 17\). Bei RSA ist genau diese Zerlegung relevant, weil \(n\) als Produkt zweier Primzahlen entsteht.

5) Wie die Zerlegung prinzipiell funktioniert

Bei unbekannten Faktoren wird systematisch geprüft, ob kleine Primzahlen Teiler sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Trifft ein Teiler, wird geteilt und die Suche mit dem Restfaktor fortgesetzt. Ohne Treffer muss mit größeren Kandidaten weitergeprüft werden. Das ist konzeptionell ein Rückwärtsrechnen durch Probieren.

6) Warum große Zahlen den Aufwand stark erhöhen

Für kleine Zahlen ist das Testen von Teilern gut handhabbar. Für sehr große Zahlen wächst der Suchraum jedoch stark an, und die Anzahl nötiger Prüfungen steigt überproportional. Für das Faktorisieren großer RSA-Zahlen ist mit bekannten Verfahren kein effizienter allgemeiner Algorithmus bekannt.

Genau hier liegt die Einwegstruktur von RSA: \( n = p \cdot q \) ist schnell berechnet, die Umkehrung von \( n \) zu \( p \) und \( q \) ist bei großen Zahlen aufwendig. Auf dieser Asymmetrie basiert die praktische Sicherheit.

Warum ist RSA sicher?

RSA ist nicht „unlösbar". Sicherheit bedeutet hier: Bei geeigneten Parametern ist ein Angriff mit bekannten Verfahren praktisch nicht effizient berechenbar.

• Schlüsselgröße: Ausreichend große Werte sind notwendig, damit der Rechenaufwand hoch bleibt.
• Schlüsselerzeugung: Primzahlen und Parameter müssen korrekt gewählt werden.
• Implementierung: Fehler in Software können Sicherheit unabhängig von der Mathematik schwächen.
• Rechenleistung: Sicherheitsbewertungen hängen auch von verfügbarer Hardware ab.

Hybride Verschlüsselungsverfahren

Grundidee

Ein hybrides Verfahren kombiniert asymmetrische und symmetrische Kryptografie in einem gemeinsamen Ablauf.

• Asymmetrisch: sichert den Schlüsselaustausch.
• Symmetrisch: verschlüsselt die eigentlichen Daten effizient.

Ablauf (prozesshaft)

1. Schlüsselübergabe asymmetrisch: Ein symmetrischer Sitzungsschlüssel wird geschützt übertragen.
2. Datenübertragung symmetrisch: Die eigentliche Nachricht wird mit diesem Schlüssel schnell verschlüsselt.

Bei HTTPS/TLS wird dieses Prinzip in vereinfachter Form sichtbar: Zuerst wird ein Schlüssel sicher ausgehandelt, danach werden laufende Daten symmetrisch übertragen.

Digitale Signatur

Asymmetrische Verfahren werden nicht nur zur Vertraulichkeit eingesetzt. Mit demselben Schlüsselpaar kann auch die Herkunft einer Nachricht nachweisbar gemacht werden.

Dabei ist die Rollenverteilung gegenüber der Verschlüsselung umgekehrt:

• Signieren: mit dem privaten Schlüssel
• Prüfen: mit dem öffentlichen Schlüssel

Damit wird auch der fachliche Unterschied deutlich: Verschlüsselung schützt vor unbefugtem Lesen (Vertraulichkeit), digitale Signatur belegt Urheberschaft und Unverändertheit.

Eine digitale Signatur stellt also Authentizität und Integrität sicher, erzeugt jedoch keine Vertraulichkeit.